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Sei das Intervall Ik = [Ak , Bk ] mit den Eigenschaften i) bis iii) bereits konstruiert. Sei M := (A k + Bk )/2 die Mitte des Intervalls. Da in Ik unendlich viele Glieder der Folge liegen, muss mindestens eines der Teilintervalle [Ak , M] und [M, Bk ] unendlich viele Folgenglieder enthalten. Wir setzen Ik+1 := [Ak , M], falls in diesem Intervall unendlich viele Folgenglieder liegen, sonst Ik+1 := [M, Bk ]. Offenbar hat Ik+1 wieder die Eigenschaften i) bis iii). b) Wir definieren nun induktiv eine Teilfolge (a nk )k∈N mit ank ∈ Ik f¨ur alle k ∈ N.

Induktionsschritt k → k + 1. Sei das Intervall Ik = [Ak , Bk ] mit den Eigenschaften i) bis iii) bereits konstruiert. Sei M := (A k + Bk )/2 die Mitte des Intervalls. Da in Ik unendlich viele Glieder der Folge liegen, muss mindestens eines der Teilintervalle [Ak , M] und [M, Bk ] unendlich viele Folgenglieder enthalten. Wir setzen Ik+1 := [Ak , M], falls in diesem Intervall unendlich viele Folgenglieder liegen, sonst Ik+1 := [M, Bk ]. Offenbar hat Ik+1 wieder die Eigenschaften i) bis iii). b) Wir definieren nun induktiv eine Teilfolge (a nk )k∈N mit ank ∈ Ik f¨ur alle k ∈ N.

D. § 4 Folgen, Grenzwerte 47 ¨ Der Fall lim an = −∞ wird durch Ubergang zur Folge (−an ) bewiesen. Satz 9 (Reziprokes einer Nullfolge). Sei (an )n∈N eine Nullfolge mit an > 0 f¨ur alle n (bzw. an < 0 f¨ur alle n). Dann divergiert die Folge (1/a n)n∈N bestimmt gegen +∞ (bzw. gegen −∞). Beweis. Wir behandeln nur den Fall einer positiven Nullfolge. Sei K > 0 eine vorgegebene Schranke. Wegen lim an = 0 gibt es ein N ∈ N, so dass 1 |an | < ε := f¨ur alle n N . h. lim(1/an ) = ∞. 5) folgt. 1. Seien a und b reelle Zahlen.

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