Download e-book for kindle: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3658003162

ISBN-13: 9783658003166

ISBN-10: 3658003170

ISBN-13: 9783658003173

Dieses seit über 30 Jahren bewährte Standardwerk ist gedacht als Begleittext zur Analysis-Vorlesung des ersten Semesters für Mathematiker, Physiker und Informatiker. Bei der Darstellung wurde besonderer Wert darauf gelegt, in systematischer Weise, aber ohne zu große Abstraktionen zu den wesentlichen Inhalten vorzudringen und sie mit vielen konkreten Beispielen zu illustrieren. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. Einige numerische Beispiele wurden durch Programm-Codes ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am laptop nachvollzogen werden können. Die vorliegende eleven. Auflage wurde um einige Aufgaben und Beispiele erweitert.

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Sei das Intervall Ik = [Ak , Bk ] mit den Eigenschaften i) bis iii) bereits konstruiert. Sei M := (A k + Bk )/2 die Mitte des Intervalls. Da in Ik unendlich viele Glieder der Folge liegen, muss mindestens eines der Teilintervalle [Ak , M] und [M, Bk ] unendlich viele Folgenglieder enthalten. Wir setzen Ik+1 := [Ak , M], falls in diesem Intervall unendlich viele Folgenglieder liegen, sonst Ik+1 := [M, Bk ]. Offenbar hat Ik+1 wieder die Eigenschaften i) bis iii). b) Wir definieren nun induktiv eine Teilfolge (a nk )k∈N mit ank ∈ Ik f¨ur alle k ∈ N.

Induktionsschritt k → k + 1. Sei das Intervall Ik = [Ak , Bk ] mit den Eigenschaften i) bis iii) bereits konstruiert. Sei M := (A k + Bk )/2 die Mitte des Intervalls. Da in Ik unendlich viele Glieder der Folge liegen, muss mindestens eines der Teilintervalle [Ak , M] und [M, Bk ] unendlich viele Folgenglieder enthalten. Wir setzen Ik+1 := [Ak , M], falls in diesem Intervall unendlich viele Folgenglieder liegen, sonst Ik+1 := [M, Bk ]. Offenbar hat Ik+1 wieder die Eigenschaften i) bis iii). b) Wir definieren nun induktiv eine Teilfolge (a nk )k∈N mit ank ∈ Ik f¨ur alle k ∈ N.

D. § 4 Folgen, Grenzwerte 47 ¨ Der Fall lim an = −∞ wird durch Ubergang zur Folge (−an ) bewiesen. Satz 9 (Reziprokes einer Nullfolge). Sei (an )n∈N eine Nullfolge mit an > 0 f¨ur alle n (bzw. an < 0 f¨ur alle n). Dann divergiert die Folge (1/a n)n∈N bestimmt gegen +∞ (bzw. gegen −∞). Beweis. Wir behandeln nur den Fall einer positiven Nullfolge. Sei K > 0 eine vorgegebene Schranke. Wegen lim an = 0 gibt es ein N ∈ N, so dass 1 |an | < ε := f¨ur alle n N . h. lim(1/an ) = ∞. 5) folgt. 1. Seien a und b reelle Zahlen.

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Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen by Otto Forster


by Jeff
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